아문턱 기울기(SS)와 이동도, 어디서 읽어야 정확한가

Where to Read Subthreshold Swing and Mobility Correctly
Subthreshold swing and field-effect mobility depend strongly on which part of the Id–Vg curve is fitted. This article explains the thermal limit, the noise-floor problem, and the automatic window selection used by this extractor.

SS 와 이동도는 "어느 구간을 직선으로 맞췄는가" 에 따라 값이 쉽게 10% 이상 달라지는 양입니다. 이 글은 구간 선택이 결과를 좌우하는 이유와, 이 도구가 구간을 고르는 규칙을 설명합니다.

SS 의 뜻과 상온 한계

아문턱 기울기(subthreshold swing)는 약반전에서 전류를 10배 키우는 데 필요한 게이트 전압으로, 단위는 mV/dec 입니다. 열역학적 하한은 (kT/q)·ln10 이며, CODATA 2018 기본 상수로 계산하면 300 K 에서 약 59.5 mV/dec 입니다. 실측값이 이보다 작으면 소자가 좋은 것이 아니라 맞춤 구간이나 온도 입력이 잘못된 것이므로 먼저 의심해야 합니다.

구간 선택이 값을 바꾸는 이유

log Id–Vg 곡선은 직선처럼 보여도 양 끝이 모두 휘어 있습니다. 아래쪽은 계측기의 잡음 바닥과 누설 전류 때문에 평평해지고, 위쪽은 강반전으로 들어가며 기울기가 줄어듭니다. 이 두 부분을 조금이라도 포함하면 기울기가 완만해져 SS 가 커지고, 반대로 너무 짧은 구간만 쓰면 잡음 한두 점에 기울기가 끌려갑니다. Schroder 의 교과서 Semiconductor Material and Device Characterization 은 두 decade 이상을 포함하고 맞춤 범위를 결과와 함께 보고하라고 권합니다.

이 도구의 자동 구간 선택

도구는 log Id 를 국소 다항식으로 평활 미분해 기울기가 가장 큰 점을 찾고, 기울기가 그 최댓값의 70% 이상인 연속 구간을 직선 회귀합니다. 잡음 바닥은 |Id| 하위 10% 의 중앙값으로 추정하며, 그 20배 아래에 있는 점과 그 점이 들어간 평활 창은 구간에서 뺍니다. 결과표 비고에는 맞춤 Vg 범위, decade 수, 점 수, 결정계수 R² 가 적히므로, decade 수가 2 미만이거나 R² 가 0.99 아래이면 자료의 점 간격이나 잡음을 먼저 살펴보시기 바랍니다. 합성 예제(이론값 71.4 mV/dec)에서 잡음 1% 일 때 74.5 mV/dec(4.8 decade, 37점), 3% 일 때 74.5 mV/dec 를 얻었습니다.

이동도는 gm 최댓값이 아니라 회귀 기울기로

선형영역 전계효과 이동도는 µFE = gm·L/(W·Cox·Vd) 로 계산하며, Cox = ε0·εr/tox 입니다(기본 εr = 3.9, 이산화규소). 평활한 gm 곡선의 최댓값을 쓰면 잡음 스파이크 하나에 값이 튀고, 잡음이 클수록 최댓값이 위로 치우칩니다. 그래서 이 도구는 선형외삽(ELR)에 쓴 구간 회귀의 기울기를 gm 으로 씁니다. 합성 예제(정답 300 cm²/V·s)에서 잡음 3% 일 때 302 cm²/V·s 를 얻었습니다. 다만 µFE 는 직렬저항과 이동도 저하가 포함된 "겉보기" 값이라 실제 채널 이동도보다 작게 나오는 것이 정상이며.

잡음 처리 — 평활 창의 크기

모든 미분은 Savitzky 와 Golay 가 학술지 Analytical Chemistry(1964)에 제안한 국소 다항식 방식을 x 간격이 불균일해도 되도록 일반화해 씁니다. 창 크기는 점 수를 12 로 나눈 뒤 5~15 사이의 홀수로 맞추며, 두 번째 카드의 "평활 창" 칸에서 바꿀 수 있습니다. 창을 키우면 잡음에는 강해지지만 곡선의 뾰족한 부분이 뭉개져 gm 최댓값이 작아지므로, 두세 가지 창으로 값이 얼마나 달라지는지 확인해 보는 것이 좋습니다.